TEMA 12. CONCORDANCIA Y CORRELACIÓN. CORRELACIÓN PARAMÉTRICA: PEARSON. CORRELACIÓN NO PARAMÉTRICA: SPEARMAN.

ANTECEDENTES:

RECORDAMOS QUE ...

Relación entre dos variables cuantitativas.

Una variable cuantitativa toma valores que son cuantificables, por ejemplo: la talla de una persona, el peso, presión arterial, el sueldo que gana, los gastos que tiene, etc.

AVANZAMOS:

RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES CUANTITATIVAS:

Dependencia Funcional: puntos exactamente sobre la línea recta o curva. Pero en estadística no se suele dar este tipo de casos.

Dependencia Estocástica: no están todos los puntos exactamente sobre el modelo, sino que existe una tendencia.

EJEMPLO.

En el siguiente ejemplo, tenemos una tabla de datos, con una variable “X” y otra variable “Y”. Posteriormente se dibujara sobre unos ejes cartesianos, en el eje de abscisa (horizontal) tendremos la variable “X” y en el eje de ordenadas (vertical) tendremos la variable “Y”, obteniendo una nube de puntos con el siguiente aspecto.

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE VS MÚLTIPLE:

• Regresión lineal simple: una sola variable independiente.
• Regresión lineal múltiple: más de una variable independiente.

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE: CORRELACIÓN Y DETERMINACIÓN:

• Se trata de estudiar la asociación lineal entre dos variables cuantitativas.
• Ejemplo: influencia de la edad en las cifras de Tensión Arterial Sistólica (TAS).

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE: UTILIDAD PRÁCTICA:

• Poder predecir el comportamiento que va a tener una variable (la V. dependiente) a partir del comportamiento de la otra variable (V. independiente).
• Porcentaje de variación de la variable dependiente que es atribuible al efecto que tiene sobre ella la variable independiente.

ANÁLISIS DE RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES CUANTITATIVAS: MODELO DE REGRESIÓN:

Utilizamos la regresión para obtener una ecuación que nos permita predecir los valores de una variable en función de los datos observados en la otra.

La recta tiene una ecuación que sería: y=a+bx; a esta ecuación la vamos a llamar MODELO DE REGRESIÓN. Y los términos que aparecen en ella, tenemos “X” e “Y”, que son las variables.

Aparece un término independiente que sería “a”, (punto de intersección con el eje de coordenadas) el cual indica lo que vale la variable respuesta cuando la “X” es cero. Cuando la “X” es cero, el producto sería cero, y la “y” sería igual a “a” (y=a).´

El término “b” es el coeficiente que va a acompañar a la “X”, el cual vamos a llamar coeficiente de regresión.

Indica cuanto cabe esperar que cambie la respuesta por cada incremento unitario de la “X”. Es decir indica la pendiente o inclinación de la recta.

Modelos lineales deterministas: la variable independiente determine el valor de la variable dependiente. Entonces para cada valor de la variable independiente sólo habría un valor de la dependiente.

Modelos lineales probabilísticos: Para cada valor de la variable independiente existe una distribución de probabilidad de valores de la dependiente, con una probabilidad entre 0 y 1. La recta a determinar es aquella con la menor distancia de cada punto a ella.

Calculamos los valores de “a” y “b” que proporcionan la recta que mejor se ajusta. Se parte de un criterio, y el más utilizado es el criterio de los mínimos cuadrados. Que consiste en obtener un punto sobre la gráfica que se denomina (Yi), que es el punto observado, y posteriormente, en coger un punto sobre la recta que hemos dibujado, denominado (Yi*), este punto es el que estima el modelo.

A continuación se calcula la diferencia entre ambos y nos interesa que la diferencia sea o más pequeña posible, por eso se llama el criterio de los mínimos, y también se denomina cuadrado porque se calcula con un término al cuadrado.

Se trata de la recta que hace mínimo el cuadrado de la suma de las distancias verticales desde ella hasta cada uno de los puntos de la nube.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS O Rho de SPEARMAN:

Se aplica en distribuciones de variables ORDINALES (o transformadas) o en cuantitativas que no cumplan criterios de normalidad.

Para operar se necesitan las variables medidas en escala ordinal.

Mide la asociación entre variables. Se simboliza con Rs ó Rho s

Adquiere valores entre -1 y 1.

• El 0 marca la ausencia asociación entre las variables. 
• Rs= -1 la asociación es negativa e inversa. Las ordenaciones son perfectamente contrarias.
• Rs=1. La asociación es positiva o directa. Las ordenaciones son todas concordantes.

Ejemplo.

Se desea conocer el grado de relación entre las posiciones que ocuparon 10 atletas que tomaron parte en dos pruebas de 100 (Xi ) y 200 (Yi ) mts lisos. Los resultados se muestran a continuación:

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON O R DE PEARSON O Rxy:

Para variables cuantitativas que sigan una distribución normal.

Es un indicador cuantitativo que sintetiza el grado de asociación entre variables.

Mide grado de dependencia entre X e Y.

La magnitud del coeficiente indica cuan cerca están los puntos de la recta.

Toma valores entre -1 y 1. 

• El 0 marca la ausencia asociación entre las variables. 
• Rs=-1 la asociación es negativa e inversa. Las ordenaciones son perfectamente contrarias.
• Rs=1 La asociación es positiva o directa. Las ordenaciones son todas concordantes.

¿COMO EVALUAMOS LA BONDAD DE AJUSTE DE ESTE MODELO?

Se evalúa a través de un coeficiente, que se denomina como Coeficiente de

Determinación y se denota normalmente como R2. Ese valor está acotado entre 0 y 1.

Cuanto más se aproxime a 1, mayor poder explicativo, mayor bondad de ajuste, es decir más cantidad de puntos de la nube están cerca realmente ese modelo.

En la práctica solemos presentarlo multiplicado por 100, y presentarlo como porcentaje de variaciones explicadas por el modelo o porcentajes de puntos bien representados, porque así es más fácil su manejo.

También existe una relación que facilita los cálculos, y es que se ha demostrado que el Coeficiente de Determinación se puede calcular sin más que elevar al cuadrado el Coeficiente de Correlación de Person.