TEMA 7. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD:
TEMA 7. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD: Conceptos básicos.
Distribución y reglas básicas de la probabilidad. Teorema de Bayés. Distribución de probabilidad discreta: binomial y de Poisson. Distribución de probabilidad continua: normal o campana de Gauss.
PROBABILIDAD:
El concepto de probabilidad es muy frecuente para comunicarnos y entendernos:
- Ej: Las probabilidades de sobrevivir a una operación son del 50%.
- Ej: Un paciente que ingresa en el hospital “A” tiene un 15% de padecer una infección hospitalaria.
- Ej: Durante este invierno la prevalencia de enfermedades respiratorias es del
13%. 13 de cada 100 ciudadanos padece una enf. respiratoria durante el invierno.
En todos estos ejemplos se está dando la medida de ocurrencia de un evento que es incierto: sobrevivir a la operación, tener una infección hospitalaria, la ocurrencia de enfermedades respiratorias....
Se expresa mediante un número entre 0 y 1 (o en porcentajes).
En estos ejemplos, si no existe la certeza de que ocurran los hechos, existe una esperanza dimensionada y razonable, de que el hecho anunciado se vea confirmado.
Esta estimación sobre la probabilidad de ocurrencia del evento nos ayuda a tomar decisiones al disminuir la incertidumbre y el riesgo de equivocarnos. Utilidad práctica.
Cuanto más probable ocurre un evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a 1 o al 100% y cuanto menos probable, más se aproxima al cero.
Aunque el concepto es simple, ya que se usa de manera intuitiva, su definición es complicada:
PROBABILIDAD SUBJETIVA O PERSONALÍSTICA:
La probabilidad mide la confianza que el individuo tiene sobre la certeza de una proposición determinada.
Por ejemplo: los epidemiólogos se basan en la experiencia para afirmar que el próximo invierno la epidemia de gripe tendrá una probabilidad del 0,0018 (180 casos por 100.000 habitantes).
Este concepto de las probabilidades ha dado lugar al enfoque de análisis de datos estadísticos llamado “Estadística Bayesiana”.
PROBABILIDAD CLÁSICA O “A PRIORI”:
Data del siglo XVIII (Laplace, Pascal, Fermat), desarrollada para resolver problemas relacionados con los juegos de azar (dados, monedas, ruletas...)
Las probabilidades se calculan con un razonamiento abstracto.
Ejemplo: no hay que lanzar el dado para saber que la probabilidad “a priori” de que salga el 6 es de 1/6=0,16.
Definición: Si un evento puede ocurrir de N formas, las cuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m de esos eventos poseen una característica E, la probabilidad de ocurrencia de E es igual a m/N. (Ley de Laplace)
Ejemplo: La probabilidad “a priori” de que salga un As en una baraja de Póker (52 cartas) será:
PROBABILIDAD RELATIVA O “A POSTERIORI”:
DEFINICIÓN: Si un suceso es repetido un GRAN número de veces, y si algún evento resultante, con la característica E, ocurre m veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia E, m/n, es aproximadamente igual a la probabilidad de ocurrencia de E.
Dicho de otra forma, si el número de determinaciones (repeticiones de un experimento aleatorio) es grande, podemos esperar que la probabilidad observada se acerque a la probabilidad teórica.
LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS:
La probabilidad a priori de que salga un número en el dado es P(A) = 1/6 = 0,166 = 16,6 %
Inicialmente esa probabilidad real puede no cumplirse pero si repetimos muchas veces el experimento, la frecuencia relativa de un suceso A, cualquiera, tiende a estabilizarse en torno al valor “a priori”
EVENTOS O SUCESOS:
Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (S). Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados. Se llama evento complementario de un suceso A, al formado por los elementos que no están en A y se denota Ac. Se llama evento unión de A y B, A U B al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo todos los que están en ambos).
Se llama evento intersección de A y B, A ∩ B al formado por los elementos que están en A y B.
Tipos:
- Sucesos independientes: Lanzar dos dados, tener 20 años y los ojos azules.
- Sucesos dependientes: Ej. Extraer dos cartas de una baraja sin reposición. Por ejemplo, ser mujer y sufrir dismenorrea u hombre y HBP.
- Sucesos compatibles: tienen algún suceso elemental común. Ej. A= obtener una puntuación par; B= obtener múltiplo de 3 al lanzar un dado de 6 caras no trucado.
- Sucesos incompatibles o excluyentes: ningún suceso elemental común (A y B son contrarios). Eje. A= obtener par y B= obtener impar, A= hombre y B= mujer.
UNIÓN DE EVENTOS:
Dados dos eventos, A y B, definimos la unión de eventos, A U B, como el evento formado por todos los elementos que están en A O en B.
Es decir, el evento A U B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o en B, o ambos.
AU B se lee como;: “A unión B". En realidad la unión de dos eventos no es nada más que la unión de sus conjuntos.
PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE SUCESOS COMPATIBLES:
PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE EVENTOS INCOMPATIBLES:
EJEMPLO:
EJEMPLO. UNIÓN DE SUCESOS INCOMPATIBLES O EXCLUYENTES:
PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE SUCESOS. SUCESOS INDEPENDIENTES:
PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE SUCESOS. SUCESOS DEPENDIENTES:
Dos sucesos A Y B son dependientes cuando la probabilidad de que suceda B se ve afectada porque haya sucedido, o no, A.
Las probabilidades de un evento o suceso siempre oscilan entre 0 y 1
La probabilidad de que un evento o suceso sea seguro es = a 1.
La probabilidad de un suceso o evento imposible es = 0
La unión de A y B es:
La probabilidad de un suceso contrario o del complemento es igual a 1 menos la probabilidad del suceso: P (A ́)= 1-P(A)
La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicionada y se define:
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Un 15% de los pacientes atendidos en la Consulta de Enfermería del Centro de Salud
del Cachorro padecen hipertensión arterial (A) y el 25% hiperlipemia (B). El 5% son
hipertensos e hiperlipémicos.
- Hipertensión arterial P(A): 15% →0,15
- Hiperlipemia P (B): 25% → 0,25
- Hipertensión arterial e Hiperlipemia P (AПB): 5% →0,05
- P (A) = 0.15
- P (B) = 0.25
- P (AПB) = 0.05 (intersección)
- P (A U B)= P(A)+P (B)-P (AПB)= 0.35 → 35% Calcula la probabilidad de que una persona al azar no padezca ni A ni B.
- P (A U B ́)= 1 - P (A U B)
EJERCICIO PROBABILIDAD CONDICIONADA:
PROBABILIDAD CONDICIONADA:
Seleccionamos un empresario al azar y preguntamos sobre la probabilidad de que tenga por lo menos dos empresas, suponiendo que fuese quiosquero.
EJERCICIO PROBABILIDAD TOTAL:
TEOREMA DE BAYES:
Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales el teorema de Bayes que vincula la probabilidad de Adado B con la probabilidad de B dado A.
Por ejemplo, sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza.
Ejercicio CLASE:
En un municipio existen tres consultas de enfermería que se reparten los habitantes en 40%,25% y 35% respectivamente. El porcentaje de pacientes diagnosticados en la primera visita (D) por consultorio es 80%,90% y 95%.
¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un individuo al azar que se le ha diagnosticado de un problema de enfermería en la primera visita proceda de la consulta A?
¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un individuo al azar que se le diagnosticado de un problema de enfermería en la primera visita proceda de la consulta B y C?
APLICANDO EL TEOREMA DE BAYES:
Tres laboratorios producen el 45%, 30% y 25% del total de los medicamentos que reciben en la farmacia de un hospital. De ellos están caducados el 3%,4% y 5%.
- Seleccionado un medicamento al azar, calcula la probabilidad de que este caducado.
- Si tomamos al azar un medicamento y resulta estar caducado cual es la probabilidad de haber sido producido por el laboratorio B?
- ¿Qué laboratorio tiene mayor probabilidad de haber producido el medicamento caducado?
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