TEMA 5. ESTADÍSTICOS UNIVARIABLES: MEDIDAS RESUMEN PARA VARIABLES CUANTITATIVAS:
TEMA 5. ESTADÍSTICOS UNIVARIABLES: MEDIDAS RESUMENPARA VARIABLES CUANTITATIVAS:
- Medidas de tendencia central.
- Medidas de dispersión.
- Medidas de posición.
- Forma de distribución: asimetría y curtosis.
RESUMEN NUMÉRICO DE UNA SERIE ESTADÍSTICA:
Además de las tablas podemos resumir una serie de observaciones mediante “ESTADÍSTICOS”: “Función de los datos observados”Tres grandes tipos de medidas estadísticas: -Medidas de tendencia central: dan idea de los valores alrededor de los cuales el resto de los datos tienen tendencia a agruparse. MEDIA, MEDIANA Y MODA- Medidas de posición: dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos. CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
-Medidas de dispersión o variabilidad: dan información acerca de la heterogeneidad de nuestras observaciones. RANGO, DESVIACIÓN MEDIA, VARIANZA, DESVIACIÓN TIPICA, COEFICIENTE DE VARIACIÓN
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL:
MEDIA ARITMÉTICA O MEDIA, ( ):
Valor medio o promedio de una variable.Se calcula para variables cuantitativas y se trata del centro geométrico o de gravedad de nuestros datos. Es la suma de todos valores de la variable observada entre el total de observaciones.
Es la medida más calculada y utilizada en estadística descriptiva. Ejemplo: conocer los ingresos de trabajadores de una unidad quirúrgica (30 personas)La fórmula es:
PROPIEDADES DE LA MEDIA:No se puede hallar en variables cualitativas.Es independiente de la amplitud de los intervalos.La suma de las desviaciones respecto de la media es igual a cero.
La media no se altera por una transformación lineal de escala: - Si a un conjunto de datos cuya media es X, se le suma a cada dato una constante K, la media aumenta en K unidades.
- Si en un conjunto de datos cuya media es X, se multiplica cada dato por una constante K, la media queda multiplicada por K.
Es muy sensible a las puntuaciones extremas.Cuando la media se refiere a un parámetro poblacional, se representa por μ y representa la media poblacional. Cuando se refiere a una muestra se denomina media muestral y se representa como X.
Ejemplo: Calcula la media de la edad de: 25; 40; 35; 67; 35; 25; 32; 40; 67 Sumar todas las edades y dividirlo por el número de personas.La edad media es igual a 40,6 años, redondeando, a 41 años.Este valor no corresponde a la edad de ninguna de las personas, sino que pretende representar a todas.
MEDIANA:- La mediana es la puntuación que ocupa la POSICIÓN CENTRAL DE LA DISTRIBUCIÓN.
- Para poder hallarla necesitamos que nuestros datos estén ordenados, de forma creciente o decreciente.
- Es el valor de la observación tal que un 50% de los datos es menor y otro 50% es mayor.
- Si la media y la mediana son iguales, la distribución de la variable es simétrica.
- A diferencia de la media aritmética, la mediana es más robusta y menos sensible a los valores extremos.
- Cuando la muestra posee muy pocos datos, o existen valores extremos o datos censurados-truncados, debemos calcular siempre la mediana.
Si el número de observaciones es impar el valor de la observación será justamente la observación que ocupa la posición (n+1)/2.Ejemplo: amigos en Instagram de 11 usuarios 108, 103, 252, 121, 93, 57, 40, 53, 22, 116, 98Fórmula de la mediana (n impar): (n+1)/2= (11+1)=12/2= 6 (posición)Ordenar en orden ascendente: 22, 40, 53, 57, 93, 98, 103, 108, 116, 121, 252
Si el número de OBSERVACIONES ES PAR, el valor de la mediana corresponde a la media entre los dos valores centrales, es decir, la media entre la observación n/2 y la observación (n/2)+1.Ejemplo: amigos en Instagram de 10 usuarios 108, 103, 121, 93, 57, 40, 53, 22, 116, 98
Fórmula de la mediana (n par): (n+1)/2= (10+1)=11/2=5.5 (posición)Ordenar en orden ascendente:22, 40, 53, 57, 93, 98, 103, 108, 116, 121((n/2)+((n/2)+1)))/2=93+98/2=95.5;
Si el número de observaciones es par.Ejemplo 2: Mediana (par) de 1, 2, 4, 5, 6, 6, 8, 9 es (5+6)/ 2= 5.5Ejemplo de robustez de la mediana.Dados los siguientes valores 1, 2, 4, 5, 6, 6, 800.La mediana de es 5, sin embargo, la media es 117.7.
Esto es un claro ejemplo de cómo la mediana es un mejor índice de tendencia central ante grandes asimetrías.
MODA:
Es el valor con mayor frecuencia (que más veces se repite).Las distribuciones que contienen una sola moda se llaman unimodales.Si hay más de una se dice que la muestra es bimodal (dos modas) o multimodal (más de dos).Se puede calcular para cualquier tipo de variable.Es la medida de tendencia central menos empleada.En una distribución unimodal simétrica, los valores de la media aritmética, mediana y moda coinciden.Si los datos están agrupados, se habla de clase modal y corresponde al intervalo en el que el cociente entre la frecuencia relativa y la amplitud es mayor (hi/ci).En la siguiente distribución de frecuencias: 18, 19, 19, 19, 23Las distribuciones que contienen una sola moda se llaman unimodales.Las que contienen dos modas se llaman bimodales (18, 19, 19, 19, 22, 22, 22, 23, 27)
- Ejemplo 1: Calcular la moda entre las siguientes edades (18, 23, 17, 23, 19, 22, 22, 22, 27). La moda sería 22 porque es el valor que más se repite (unimodal).
- Ejemplo 2: Calcular la moda de la siguiente distribución (18, 23, 19, 19, 19, 22, 22, 22, 27), sería 19 y 22 porque son los valores que más se repiten (bimodal).
MEDIDAS DE POSICIÓN:
Las medidas de posición sirven para identificar la posición que ocupa un determinado valor dentro de la distribución, para lo que esta puede dividirse en 4, 10 o 100 partes de igual frecuencia. Los cuartiles, deciles y percentiles (respectivamente), y son también medidas de posición, puesto que nos proporcionan una puntuación en la variable de estudio en torno a la cual se distribuye la población. Se llevan a cabo en variables de tipo ordinal o de intervalo.
PERCENTILES:
Dividen la muestra ordenada en 100 partes iguales. Los percentiles son los 99 puntos ovalores que dividen la distribución en cien partes iguales. Se representan por P(n).
(Así, por ejemplo, P70 (percentil 70) es el valor de la variable que es igual o deja por debajo de sí al 70% del total de las puntuaciones).El percentil “i” (Pi), es aquél valor que, ordenadas las observaciones en forma creciente, el i% de ellas son menores que él y el (100-i)% restante son mayores.Para buscar la posición de un percentil en una serie de datos agrupados, buscamos el intervalo en el que la frecuencia relativa acumulada (Hi) sea superior al valor del percentilEl valor del P50 corresponde al valor de la mediana.
DECILES:
- Dividen la muestra ordenada en 10 partes iguales. Los deciles son los nueve valores que dividen a la distribución en diez partes iguales.
- Cada parte incluye el 10% de los valores de la distribución.
- Se representan por la letra D.
- El decil “i” (Di), es aquél valor que, ordenadas las observaciones en forma creciente, el i/10% de ellas son menores que él y el (100-i)/10% restante son mayores.
- El valor del D5 corresponde al valor de la mediana y, por tanto, al del P50.
- Por ejemplo, el decil 6 (D6) deja por debajo de sí al 60% de los sujetos o las observaciones y al 40% restante por encima.
CUARTILES:
Dividen la muestra ordenada en 4 partes. Son los tres valores que dividen la distribución en cuatro partes iguales, cada parte incluye el 25% de los valores de dicha variable. Se representan por Q1, Q2 y Q3.El Q1, primer cuartil indica el valor que ocupa una posición en la seria numérica de forma que el 25% de las observaciones son menores y que el 75% son mayores. Es decir, la puntuación que ocupa la posición N/4 en la población.El Q2, segundo cuartil indica el valor que ocupa una posición en la seria numérica de forma que el 50% de las observaciones son menores y que el 50% son mayores. Por tanto, el Q2 coincide con el valor del D5, con el valor de la mediana, y P50. Es la puntuación que ocupa la posición 2N/4.
El Q3, tercer cuartil indica el valor que ocupa una posición en la seria numérica de forma que el 75% de las observaciones son menores y que el 25% son mayores. Es la puntuación que ocupa el lugar 3N/4.El Q4, cuarto cuartil indica el valor mayor que se alcanza en la serie numérica.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN:
Para conocer cómo se distribuyen las puntuaciones es preciso conocer las medidas de tendencia central que nos indica como se agrupan los valores de la variable en torno al centro de las puntuaciones, pero también es conveniente calcular la dispersión para ver cómo se distancian los valores de la variable del centro.Las medidas de dispersión describen cómo se distribuyen las puntuaciones de variablesde intervalo o razón. Es decir, las medidas de dispersión nos permiten saber si los individuos que componen una población son parecidos en la variable que estamos estudiando (igual edad, igual tensión arterial, etc.), o si hay grandes diferencias entre ellos.
Son medidas de dispersión:
La información aportada por las medidas de tendencia central es limitada.
Ejemplo:
Serie 1: 18, 19, 20, 21, 22Mediana =20 Media =20
Serie 2: 9, 14, 20, 27, 30Mediana =20 Media =20¿Qué es lo que diferencia a una serie de otra?
RANGO O RECORRIDO (R):
Es la medida de dispersión más simple y consiste en tomar la puntuación mayor y restarle la puntuación menor. Es el recorrido de una variable: R= Xmax.- Xmin.Si ordenamos esta puntuación de menor a mayor tendríamos: 22, 40, 53, 57, 93, 98, 103, 108, 116, 121, 252.
La puntuación más alta era 252 y la puntuación más baja 22, por tanto el rango es 252- 22= 230La principal limitación del rango es que al tener en cuenta solamente los valores más alto y más bajo, se ve dramáticamente afectado por los valores extremos. Por ejemplo, realicemos de nuevo la prueba del rango eliminando el valor extremo...Se reduce de 230 a 99 (más de la mitad!!!)Cuanto mayor sea el recorrido, más dispersa será la distribución de frecuencias.
Ejemplo: Nos interesa conocer la dispersión de la distribución de los salarios en dos empresas, es decir, si el sueldo que perciben las personas empleadas es similar o no.En la empresa A, el sueldo más elevado es de 250 euros al día, mientras que el sueldo más bajo es de 45 euros. En la empresa B el sueldo más elevado es de 75 euros al día, mientras que el sueldo más bajo es de 45 euros. Por lo tanto, el recorrido es: - EMPRESA A: R = 250 – 45 = 205 euros.
- EMPRESA B: R = 75 – 45 = 30 euros.
Por lo tanto, la empresa A tiene un mayor recorrido o rango, por lo que su distribuciónde sueldo es más desigual, al existir mayor diferencia entre el valor más alto y el másbajo.
RECORRIDO INTERCUARTÍLICO (RI):
Diferencia entre el tercer y el primer cuartil= |Q3- Q1|Hay que recordar que, ordenando las puntuaciones de menor a mayor, el primer cuartil (Q1) es el valor hasta el cual hay un 25% de los casos. El segundo cuartil (Q2) es el valor que divide las puntuaciones en el 50% de los casos. Se corresponde con la mediana. Por último, el tercer cuartil (Q3) es el valor hasta el que hay un 75% de los casos. Por lo tanto, el recorrido intercuartílico nos indica la LONGITUD DEL INTERVALO EN EL QUE SE SITÚAN EL 50% DE LOS VALORES CENTRALES.
Interpretación: Si el recorrido intercuartílico es pequeño, es decir, si la longitud de intervalo en el que se encuentra el 50% de los casos centrales es pequeña, será indicativo de poca dispersión. Y a la inversa, si el recorrido intercuartílico es grande, expresará gran dispersión.
DESVIACIÓN MEDIA (DM):
La medida de dispersión más sencilla y fácil de comprender es la desviación media.ES LA MEDIA ARITMÉTICA DE LAS DISTANCIAS DE CADA OBSERVACIÓN CON RESPECTO A LA MEDIA DE LA MUESTRA:
DM = SUMATORIO VALOR ABSOLUTO DE LA DIFERENCIA DE CADA UNA DE LAS MEDICIONES CON LA MEDIA ARITMÉTICA DIVIDIDO ENTRE EL NÚMERO TOTAL DE MEDICIONES.
Ejemplo: Tenemos dos grupos, A y B, cada uno con cuatro sujetos. - Las puntuaciones Grupo A son: 3, 4, 6 y 7
- Las puntuaciones Grupo B son: 2, 3, 7 y 8
Ambos grupos: idéntica media = 5 - Grupo A: (3 + 4 + 6 + 7)/ 4= 5
- Grupo B: (2 + 3 + 7 + 8)/ 4= 5
Desviación media Grupo A= (5-3) + (5-4) +(5-6)+(5-7)/4 - Grupo A Desviación media= 2 + 1 + (-1) + (-2)/4 en números absolutos: |2+1+1+2|/4= 1,5
Desviación media Grupo B = (5-2) + (5-3) +(5-7) + (5-8)/4 - Grupo B Desviación media= 3 + 2 + (-2) + (-3)/4 en números absolutos: |3+2+2+3|/4= 2,5
En base a estos resultados podríamos decir que el grupo B presenta una desviación media mayor, por lo que su dispersión es mayor, o lo que es lo mismo, que el grupo A es más homogéneo.
DESVIACIÓN TÍPICA O ESTÁNDAR (S):
Expresa la dispersión de la distribución mediante un valor que siempre es positivo y en las mismas unidades de medida de la variable, siendo la medida de dispersión más utilizada en estadística descriptiva.La desviación típica es una medida similar a la desviación media. Se diferencia de ella en que, en lugar de tomar el valor absoluto de tales desviaciones, se utiliza el cuadrado de estas.La desviación típica informa del grado de homogeneidad de los datos o de dispersión que presentan respecto a la media.La desviación típica es más baja si los datos están más próximos a la media, y es más alta si hay puntuaciones extremas muy alejadas de la media.Por lo tanto, la Media y Desviación típica aportan datos descriptivos complementarios, es decir, la Media nos indica, “cómo se agrupan los datos en torno al centro”, y la Desviación típica, “cómo se dispersan”.Cuando los datos están muy alejados de la media, el numerador será grande y la varianza y la desviación típica también lo serán. Al aumentar el tamaño de la muestra, disminuye la varianza y la desviación típica.
DE LA POBLACIÓN: DE LA MUESTRA:
Cuando nos dan una tabla de frecuencias:
PROPIEDADES:
- La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
- Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.
- Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación
- típica queda multiplicada por dicho número.
OBSERVACIONES DE LA DESVIACIÓN TÍPICA:
- La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
- En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica.
- Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de la media.
VARIANZA (S2):
Es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución.La varianza es el cuadrado de la desviación típica.Su cálculo se realiza llevando a cabo la media de la suma de cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución, es decir, mide el promedio de las desviaciones (al cuadrado) con respecto a la media.Su principal inconveniente es que es sensible a valores extremos (alejados de la media) y sus unidades son el cuadrado de las de la variable, lo que lo hace una medida poco utilizada. Realmente sirve para estimar la desviación estándar.
De la población: De la muestra:
Siempre tiene un valor positivo.Se mide en unidades de la variable estudiada (al cuadrado).Cuanto menor sea la varianza mayor homogeneidad y menor dispersión.
COEFICIENTE DE VARIACIÓN (CV):
También recibe el nombre de variabilidad relativa, puesto que es una medida de dispersión relativa de los datos.Se utiliza cuando las unidades no es necesario tenerlas en cuenta.- Se calcula dividiendo la desviación típica entre la media de la muestra, y expresado en porcentaje.
- El CV es un medida adimensional y nos permite COMPARAR LA DISPERSIÓN O VARIABILIDAD DE DOS O MÁS GRUPOS (no se tiene en cuenta el signo).
- Se usa para comparar la dispersión de dos variables que vienen expresadas en unidades diferentes (multiplicar por 100 y dar %)
- Sin embargo, no debe usarse cuando la variable presenta valores negativos o donde el valor 0 sea una cantidad fijada arbitrariamente.
- País A: Peso medio 13 kg DE=1.6 Kg País B: Peso medio 30 libras DE=2 libras
- ¿En qué país hay más dispersión en cuanto al peso de los niños?
ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA (EEM):
El error estándar de la media (EEM) mide la dispersión hipotética que tendrían las medias de infinitas muestras tomadas de una población determinada.
Se define como la DESVIACIÓN TÍPICA PARTIDO POR LA RAÍZ DEL TAMAÑO MUESTRAL.Suele ser un valor más pequeño ya que ese indicaría una medida de dispersión pequeña y los valores estarían más cercanos al valor que los sintetiza.
Es una medida de dispersión que nos permite evaluar la variabilidad de la media en el muestreo.
En este sentido, el error estándar de la media está relacionado con la representatividad de la muestra, así cuando se dice que el EEM es del 5%, estamos afirmando que, con un 95% de probabilidad, la población de estudio estará representada en mi muestra.
DISTRIBUCIONES NORMALES:
La mayoría de las variables biológicas siguen una distribución normal (campana de Gauss).
En estadística se llama distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de los valores posición central (media, mediana y moda, que coinciden en estas distribuciones).Es simétrica alrededor de la media.Esta curva se conoce como campana de Gauss. La mayor parte de los valores se encuentran en torno a la media.
Se han identificado unos puntos de inflexión en la misma que corresponden, según cálculos estadísticos, con:
El valor central de la distribución es la media (que, como ya se ha dicho, coincide con la mediana y la moda), y a una distancia de: - ± 1 desviación típica (s), se encuentran el 68% de los individuos.
- ± 1.96 s, se encuentran el 95% de los individuos.
- ± 2.57 s (suele redondearse a 2.6 s), se encuentran el 99% de los individuos.
MEDIDAS DE FORMA:
ASIMETRÍAS Y CURTOSIS:Las medidas de forma indican si la distribución es simétrica (coeficiente de sesgo) y el grado de apuntamiento, tomando siempre como referencia la curva normal.
ASIMETRÍAS:
Coeficiente de asimetría de una variable: Grado de asimetría de la distribución de sus datos en torno a su media.Las distribuciones asimétricas también se llaman sesgadas, y se caracterizan porque el pico de la misma se encuentra descentrado (no simétrica), apareciendo una cola más larga que la otra.Se calcula: media – moda/ desviación típica.Es adimensional y adopta valores entre -1 y 1.
Interpretación del coeficiente de asimetría:
- g1 = 0 (distribución simétrica; existe la misma concentración de valores a la derecha y a la izquierda de la media)
- g1 > 0 (distribución asimétrica positiva; La cola de la distribución es más larga hacia la derecha y los valores más elevados quedan a la izquierda)
g1 < 0 (distribución asimétrica negativa; La cola de la distribución es más larga hacia la izquierda y los valores más elevados quedan a la derecha)
CURTOSIS O APUNTAMIENTO:
Coeficiente de apuntamiento o curtosis de una variable, sirve para medir el grado de concentración de los valores que toma en torno a su media.Se elige como referencia una variable con distribución normal, de modo que para ella el coeficiente de curtosis es 0.Adopta también valores entre -1 y 1. Es una medida adimensional.¿Cómo calcular el coeficiente o exceso de curtosis, g2?
Los resultados pueden ser los siguientes:
- g2 = 0 (distribución mesocúrtica). Presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal).
- g2 > 0 (distribución leptocúrtica). Presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.
- g2 < 0 (distribución platicúrtica). Presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable
RESUMEN NUMÉRICO DE UNA SERIE ESTADÍSTICA:
Además de las tablas podemos resumir una serie de observaciones mediante “ESTADÍSTICOS”: “Función de los datos observados”
Tres grandes tipos de medidas estadísticas:
-Medidas de tendencia central: dan idea de los valores alrededor de los cuales el resto de los datos tienen tendencia a agruparse. MEDIA, MEDIANA Y MODA
- Medidas de posición: dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos. CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
-Medidas de dispersión o variabilidad: dan información acerca de la heterogeneidad de nuestras observaciones. RANGO, DESVIACIÓN MEDIA, VARIANZA, DESVIACIÓN TIPICA, COEFICIENTE DE VARIACIÓN
-Medidas de dispersión o variabilidad: dan información acerca de la heterogeneidad de nuestras observaciones. RANGO, DESVIACIÓN MEDIA, VARIANZA, DESVIACIÓN TIPICA, COEFICIENTE DE VARIACIÓN
MEDIA ARITMÉTICA O MEDIA, ( ):
Valor medio o promedio de una variable.
Se calcula para variables cuantitativas y se trata del centro geométrico o de gravedad de nuestros datos. Es la suma de todos valores de la variable observada entre el total de observaciones.
Es la medida más calculada y utilizada en estadística descriptiva. Ejemplo: conocer los ingresos de trabajadores de una unidad quirúrgica (30 personas)
La fórmula es:
PROPIEDADES DE LA MEDIA:
No se puede hallar en variables cualitativas.
Es independiente de la amplitud de los intervalos.
La suma de las desviaciones respecto de la media es igual a cero.
La media no se altera por una transformación lineal de escala:
- Si a un conjunto de datos cuya media es X, se le suma a cada dato una constante K, la media aumenta en K unidades.
- Si en un conjunto de datos cuya media es X, se multiplica cada dato por una constante K, la media queda multiplicada por K.
Es muy sensible a las puntuaciones extremas.
Cuando la media se refiere a un parámetro poblacional, se representa por μ y representa la media poblacional. Cuando se refiere a una muestra se denomina media muestral y se representa como X.
Ejemplo: Calcula la media de la edad de: 25; 40; 35; 67; 35; 25; 32; 40; 67 Sumar todas las edades y dividirlo por el número de personas.
La edad media es igual a 40,6 años, redondeando, a 41 años.
Este valor no corresponde a la edad de ninguna de las personas, sino que pretende representar a todas.
MEDIANA:
- La mediana es la puntuación que ocupa la POSICIÓN CENTRAL DE LA DISTRIBUCIÓN.
- Para poder hallarla necesitamos que nuestros datos estén ordenados, de forma creciente o decreciente.
- Es el valor de la observación tal que un 50% de los datos es menor y otro 50% es mayor.
- Si la media y la mediana son iguales, la distribución de la variable es simétrica.
- A diferencia de la media aritmética, la mediana es más robusta y menos sensible a los valores extremos.
- Cuando la muestra posee muy pocos datos, o existen valores extremos o datos censurados-truncados, debemos calcular siempre la mediana.
Si el número de observaciones es impar el valor de la observación será justamente la observación que ocupa la posición (n+1)/2.
Ejemplo: amigos en Instagram de 11 usuarios 108, 103, 252, 121, 93, 57, 40, 53, 22, 116, 98
Fórmula de la mediana (n impar): (n+1)/2= (11+1)=12/2= 6 (posición)
Ordenar en orden ascendente: 22, 40, 53, 57, 93, 98, 103, 108, 116, 121, 252
Si el número de OBSERVACIONES ES PAR, el valor de la mediana corresponde a la media entre los dos valores centrales, es decir, la media entre la observación n/2 y la observación (n/2)+1.
Ejemplo: amigos en Instagram de 10 usuarios 108, 103, 121, 93, 57, 40, 53, 22, 116, 98
Fórmula de la mediana (n par): (n+1)/2= (10+1)=11/2=5.5 (posición)
Ordenar en orden ascendente:
22, 40, 53, 57, 93, 98, 103, 108, 116, 121
((n/2)+((n/2)+1)))/2=93+98/2=95.5;
Si el número de observaciones es par.
Ejemplo 2: Mediana (par) de 1, 2, 4, 5, 6, 6, 8, 9 es (5+6)/ 2= 5.5
Ejemplo de robustez de la mediana.
Dados los siguientes valores 1, 2, 4, 5, 6, 6, 800.
La mediana de es 5, sin embargo, la media es 117.7.
Esto es un claro ejemplo de cómo la mediana es un mejor índice de tendencia central ante grandes asimetrías.
MODA:
Es el valor con mayor frecuencia (que más veces se repite).
Las distribuciones que contienen una sola moda se llaman unimodales.
Si hay más de una se dice que la muestra es bimodal (dos modas) o multimodal (más de dos).
Se puede calcular para cualquier tipo de variable.
Es la medida de tendencia central menos empleada.
En una distribución unimodal simétrica, los valores de la media aritmética, mediana y moda coinciden.
Si los datos están agrupados, se habla de clase modal y corresponde al intervalo en el que el cociente entre la frecuencia relativa y la amplitud es mayor (hi/ci).
En la siguiente distribución de frecuencias: 18, 19, 19, 19, 23
Las distribuciones que contienen una sola moda se llaman unimodales.
Las que contienen dos modas se llaman bimodales (18, 19, 19, 19, 22, 22, 22, 23, 27)
- Ejemplo 1: Calcular la moda entre las siguientes edades (18, 23, 17, 23, 19, 22, 22, 22, 27). La moda sería 22 porque es el valor que más se repite (unimodal).
- Ejemplo 2: Calcular la moda de la siguiente distribución (18, 23, 19, 19, 19, 22, 22, 22, 27), sería 19 y 22 porque son los valores que más se repiten (bimodal).
Las medidas de posición sirven para identificar la posición que ocupa un determinado valor dentro de la distribución, para lo que esta puede dividirse en 4, 10 o 100 partes de igual frecuencia. Los cuartiles, deciles y percentiles (respectivamente), y son también medidas de posición, puesto que nos proporcionan una puntuación en la variable de estudio en torno a la cual se distribuye la población. Se llevan a cabo en variables de tipo ordinal o de intervalo.
PERCENTILES:
Dividen la muestra ordenada en 100 partes iguales. Los percentiles son los 99 puntos o
valores que dividen la distribución en cien partes iguales. Se representan por P(n).
(Así, por ejemplo, P70 (percentil 70) es el valor de la variable que es igual o deja por debajo de sí al 70% del total de las puntuaciones).
El percentil “i” (Pi), es aquél valor que, ordenadas las observaciones en forma creciente, el i% de ellas son menores que él y el (100-i)% restante son mayores.
Para buscar la posición de un percentil en una serie de datos agrupados, buscamos el intervalo en el que la frecuencia relativa acumulada (Hi) sea superior al valor del percentil
El valor del P50 corresponde al valor de la mediana.
- Dividen la muestra ordenada en 10 partes iguales. Los deciles son los nueve valores que dividen a la distribución en diez partes iguales.
- Cada parte incluye el 10% de los valores de la distribución.
- Se representan por la letra D.
- El decil “i” (Di), es aquél valor que, ordenadas las observaciones en forma creciente, el i/10% de ellas son menores que él y el (100-i)/10% restante son mayores.
- El valor del D5 corresponde al valor de la mediana y, por tanto, al del P50.
- Por ejemplo, el decil 6 (D6) deja por debajo de sí al 60% de los sujetos o las observaciones y al 40% restante por encima.
CUARTILES:
Dividen la muestra ordenada en 4 partes. Son los tres valores que dividen la distribución en cuatro partes iguales, cada parte incluye el 25% de los valores de dicha variable. Se representan por Q1, Q2 y Q3.
El Q1, primer cuartil indica el valor que ocupa una posición en la seria numérica de forma que el 25% de las observaciones son menores y que el 75% son mayores. Es decir, la puntuación que ocupa la posición N/4 en la población.
El Q2, segundo cuartil indica el valor que ocupa una posición en la seria numérica de forma que el 50% de las observaciones son menores y que el 50% son mayores. Por tanto, el Q2 coincide con el valor del D5, con el valor de la mediana, y P50. Es la puntuación que ocupa la posición 2N/4.
El Q3, tercer cuartil indica el valor que ocupa una posición en la seria numérica de forma que el 75% de las observaciones son menores y que el 25% son mayores. Es la puntuación que ocupa el lugar 3N/4.
El Q4, cuarto cuartil indica el valor mayor que se alcanza en la serie numérica.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN:
Para conocer cómo se distribuyen las puntuaciones es preciso conocer las medidas de tendencia central que nos indica como se agrupan los valores de la variable en torno al centro de las puntuaciones, pero también es conveniente calcular la dispersión para ver cómo se distancian los valores de la variable del centro.
Las medidas de dispersión describen cómo se distribuyen las puntuaciones de variables
de intervalo o razón. Es decir, las medidas de dispersión nos permiten saber si los individuos que componen una población son parecidos en la variable que estamos estudiando (igual edad, igual tensión arterial, etc.), o si hay grandes diferencias entre ellos.
Son medidas de dispersión:
La información aportada por las medidas de tendencia central es limitada.
Ejemplo:
Serie 1: 18, 19, 20, 21, 22
Mediana =20 Media =20
Serie 2: 9, 14, 20, 27, 30
Mediana =20 Media =20
¿Qué es lo que diferencia a una serie de otra?
RANGO O RECORRIDO (R):
Es la medida de dispersión más simple y consiste en tomar la puntuación mayor y restarle la puntuación menor. Es el recorrido de una variable: R= Xmax.- Xmin.
Si ordenamos esta puntuación de menor a mayor tendríamos: 22, 40, 53, 57, 93, 98, 103, 108, 116, 121, 252.
La puntuación más alta era 252 y la puntuación más baja 22, por tanto el rango es 252- 22= 230
La principal limitación del rango es que al tener en cuenta solamente los valores más alto y más bajo, se ve dramáticamente afectado por los valores extremos. Por ejemplo, realicemos de nuevo la prueba del rango eliminando el valor extremo...Se reduce de 230 a 99 (más de la mitad!!!)
Cuanto mayor sea el recorrido, más dispersa será la distribución de frecuencias.
Ejemplo: Nos interesa conocer la dispersión de la distribución de los salarios en dos empresas, es decir, si el sueldo que perciben las personas empleadas es similar o no.
En la empresa A, el sueldo más elevado es de 250 euros al día, mientras que el sueldo más bajo es de 45 euros. En la empresa B el sueldo más elevado es de 75 euros al día, mientras que el sueldo más bajo es de 45 euros. Por lo tanto, el recorrido es:
- EMPRESA A: R = 250 – 45 = 205 euros.
- EMPRESA B: R = 75 – 45 = 30 euros.
Por lo tanto, la empresa A tiene un mayor recorrido o rango, por lo que su distribución
de sueldo es más desigual, al existir mayor diferencia entre el valor más alto y el más
bajo.
RECORRIDO INTERCUARTÍLICO (RI):
Diferencia entre el tercer y el primer cuartil= |Q3- Q1|
Hay que recordar que, ordenando las puntuaciones de menor a mayor, el primer cuartil (Q1) es el valor hasta el cual hay un 25% de los casos. El segundo cuartil (Q2) es el valor que divide las puntuaciones en el 50% de los casos. Se corresponde con la mediana. Por último, el tercer cuartil (Q3) es el valor hasta el que hay un 75% de los casos. Por lo tanto, el recorrido intercuartílico nos indica la LONGITUD DEL INTERVALO EN EL QUE SE SITÚAN EL 50% DE LOS VALORES CENTRALES.
Interpretación: Si el recorrido intercuartílico es pequeño, es decir, si la longitud de intervalo en el que se encuentra el 50% de los casos centrales es pequeña, será indicativo de poca dispersión. Y a la inversa, si el recorrido intercuartílico es grande, expresará gran dispersión.
DESVIACIÓN MEDIA (DM):
La medida de dispersión más sencilla y fácil de comprender es la desviación media.
ES LA MEDIA ARITMÉTICA DE LAS DISTANCIAS DE CADA OBSERVACIÓN CON RESPECTO A LA MEDIA DE LA MUESTRA:
DM = SUMATORIO VALOR ABSOLUTO DE LA DIFERENCIA DE CADA UNA DE LAS MEDICIONES CON LA MEDIA ARITMÉTICA DIVIDIDO ENTRE EL NÚMERO TOTAL DE MEDICIONES.
Ejemplo: Tenemos dos grupos, A y B, cada uno con cuatro sujetos.
- Las puntuaciones Grupo A son: 3, 4, 6 y 7
- Las puntuaciones Grupo B son: 2, 3, 7 y 8
Ambos grupos: idéntica media = 5
- Grupo A: (3 + 4 + 6 + 7)/ 4= 5
- Grupo B: (2 + 3 + 7 + 8)/ 4= 5
Desviación media Grupo A= (5-3) + (5-4) +(5-6)+(5-7)/4
- Grupo A Desviación media= 2 + 1 + (-1) + (-2)/4 en números absolutos: |2+1+1+2|/4= 1,5
Desviación media Grupo B = (5-2) + (5-3) +(5-7) + (5-8)/4
- Grupo B Desviación media= 3 + 2 + (-2) + (-3)/4 en números absolutos: |3+2+2+3|/4= 2,5
En base a estos resultados podríamos decir que el grupo B presenta una desviación media mayor, por lo que su dispersión es mayor, o lo que es lo mismo, que el grupo A es más homogéneo.
DESVIACIÓN TÍPICA O ESTÁNDAR (S):
Expresa la dispersión de la distribución mediante un valor que siempre es positivo y en las mismas unidades de medida de la variable, siendo la medida de dispersión más utilizada en estadística descriptiva.
La desviación típica es una medida similar a la desviación media. Se diferencia de ella en que, en lugar de tomar el valor absoluto de tales desviaciones, se utiliza el cuadrado de estas.
La desviación típica informa del grado de homogeneidad de los datos o de dispersión que presentan respecto a la media.
La desviación típica es más baja si los datos están más próximos a la media, y es más alta si hay puntuaciones extremas muy alejadas de la media.
Por lo tanto, la Media y Desviación típica aportan datos descriptivos complementarios, es decir, la Media nos indica, “cómo se agrupan los datos en torno al centro”, y la Desviación típica, “cómo se dispersan”.
Cuando los datos están muy alejados de la media, el numerador será grande y la varianza y la desviación típica también lo serán. Al aumentar el tamaño de la muestra, disminuye la varianza y la desviación típica.
DE LA POBLACIÓN: DE LA MUESTRA:
PROPIEDADES:
- La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
- Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.
- Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación
- típica queda multiplicada por dicho número.
OBSERVACIONES DE LA DESVIACIÓN TÍPICA:
- La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
- En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica.
- Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de la media.
VARIANZA (S2):
Es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución.
La varianza es el cuadrado de la desviación típica.
Su cálculo se realiza llevando a cabo la media de la suma de cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución, es decir, mide el promedio de las desviaciones (al cuadrado) con respecto a la media.
Su principal inconveniente es que es sensible a valores extremos (alejados de la media) y sus unidades son el cuadrado de las de la variable, lo que lo hace una medida poco utilizada.
Realmente sirve para estimar la desviación estándar.
De la población: De la muestra:
Siempre tiene un valor positivo.
Se mide en unidades de la variable estudiada (al cuadrado).
Cuanto menor sea la varianza mayor homogeneidad y menor dispersión.
COEFICIENTE DE VARIACIÓN (CV):
También recibe el nombre de variabilidad relativa, puesto que es una medida de dispersión relativa de los datos.
Se utiliza cuando las unidades no es necesario tenerlas en cuenta.
- Se calcula dividiendo la desviación típica entre la media de la muestra, y expresado en porcentaje.
- El CV es un medida adimensional y nos permite COMPARAR LA DISPERSIÓN O VARIABILIDAD DE DOS O MÁS GRUPOS (no se tiene en cuenta el signo).
- Se usa para comparar la dispersión de dos variables que vienen expresadas en unidades diferentes (multiplicar por 100 y dar %)
- Sin embargo, no debe usarse cuando la variable presenta valores negativos o donde el valor 0 sea una cantidad fijada arbitrariamente.
- País A: Peso medio 13 kg DE=1.6 Kg País B: Peso medio 30 libras DE=2 libras
- ¿En qué país hay más dispersión en cuanto al peso de los niños?
ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA (EEM):
El error estándar de la media (EEM) mide la dispersión hipotética que tendrían las medias de infinitas muestras tomadas de una población determinada.
Se define como la DESVIACIÓN TÍPICA PARTIDO POR LA RAÍZ DEL TAMAÑO MUESTRAL.
Suele ser un valor más pequeño ya que ese indicaría una medida de dispersión pequeña y los valores estarían más cercanos al valor que los sintetiza.
Es una medida de dispersión que nos permite evaluar la variabilidad de la media en el muestreo.
En este sentido, el error estándar de la media está relacionado con la representatividad de la muestra, así cuando se dice que el EEM es del 5%, estamos afirmando que, con un 95% de probabilidad, la población de estudio estará representada en mi muestra.
DISTRIBUCIONES NORMALES:
La mayoría de las variables biológicas siguen una distribución normal (campana de Gauss).
En estadística se llama distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de los valores posición central (media, mediana y moda, que coinciden en estas distribuciones).
Es simétrica alrededor de la media.
Esta curva se conoce como campana de Gauss. La mayor parte de los valores se encuentran en torno a la media.
Se han identificado unos puntos de inflexión en la misma que corresponden, según cálculos estadísticos, con:
El valor central de la distribución es la media (que, como ya se ha dicho, coincide con la mediana y la moda), y a una distancia de:
- ± 1 desviación típica (s), se encuentran el 68% de los individuos.
- ± 1.96 s, se encuentran el 95% de los individuos.
- ± 2.57 s (suele redondearse a 2.6 s), se encuentran el 99% de los individuos.
MEDIDAS DE FORMA:
ASIMETRÍAS Y CURTOSIS:
Las medidas de forma indican si la distribución es simétrica (coeficiente de sesgo) y el grado de apuntamiento, tomando siempre como referencia la curva normal.
ASIMETRÍAS:
Coeficiente de asimetría de una variable: Grado de asimetría de la distribución de sus datos en torno a su media.
Las distribuciones asimétricas también se llaman sesgadas, y se caracterizan porque el pico de la misma se encuentra descentrado (no simétrica), apareciendo una cola más larga que la otra.
Se calcula: media – moda/ desviación típica.
Es adimensional y adopta valores entre -1 y 1.
Interpretación del coeficiente de asimetría:
- g1 = 0 (distribución simétrica; existe la misma concentración de valores a la derecha y a la izquierda de la media)
- g1 > 0 (distribución asimétrica positiva; La cola de la distribución es más larga hacia la derecha y los valores más elevados quedan a la izquierda)
- g1 < 0 (distribución asimétrica negativa; La cola de la distribución es más larga hacia la izquierda y los valores más elevados quedan a la derecha)
CURTOSIS O APUNTAMIENTO:
Coeficiente de apuntamiento o curtosis de una variable, sirve para medir el grado de concentración de los valores que toma en torno a su media.
Se elige como referencia una variable con distribución normal, de modo que para ella el coeficiente de curtosis es 0.
Adopta también valores entre -1 y 1. Es una medida adimensional.
¿Cómo calcular el coeficiente o exceso de curtosis, g2?
Los resultados pueden ser los siguientes:
- g2 = 0 (distribución mesocúrtica). Presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal).
- g2 > 0 (distribución leptocúrtica). Presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.
- g2 < 0 (distribución platicúrtica). Presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable
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