7.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EN VARIABLES DISCRETAS: BINOMIAL Y POISSON 

Distribución binomial:

La distribución binomial es un modelo matemático de distribución teórica de variables discretas. Se puede calcular cuando la distribución presenta los siguientes atributos: 

a) Cuando se producen situaciones en las que sólo existen dos posibilidades (cara o cruz, sano o enfermo,…). La variable tiene dos valores posibles. Sólo dos. 

b) Conocemos la probabilidad de que ocurra cada uno de los dos sucesos. A uno lo llamamos p y a su contrario q. P=1-q 

c) El resultado obtenido en cada repetición de la prueba no esta condicionado por los resultados previos.

 d) El experimento cuenta con un número de repeticiones conocido. Lo llamamos n.

Mediante el calculo de probabilidad para distribución binomial se resuelven problemas que llevan enuciados del siguiente tipo: “Si al hacer un experimento hay una probabilidad p de que ocurra un suceso 

¿Cuál es la probabilidad de que en N experimentos el suceso ocurra X veces el suceso que estudiamos?

• P: probabilidad de ocurrencia. 

• q de no ocurrencia. 

• X: numero sucesos favorables. 

• N: numero total de ensayos.

EJEMPLO BINOMIAL:

Si lanzamos una moneda al aire, la probabilidad de cara ½. ¿Qué probabilidad de que en 6 tiradas al aire salgan 2 caras

• P: probabilidad de ocurrencia = 1/2 
• q: de no ocurrencia = 1/2 
• X: numero sucesos favorables = 2 
• N: numero total de ensayos = 6

O lo que es lo mismo: el 23,43% es la probabilidad de que en 6 tiradas salgan dos caras 

EJEMPLO BINOMIAL:

 Un tipo de tratamiento aplicado a una úlcera por decúbito cura un 70% de los pacientes. En un ensayo clínico se aplica el tratamiento a 10 pacientes 

• Calcula la probabilidad de: 

– Curen 4 pacientes.

 P (x=4)=0.037 (3,7%) 

– Curen al menos 3 pacientes 

• Curar 3 pacientes o más: (4,5,6,7,8,9,10)à 1-P(1)+P(2)+P(3) 

• P(1) +P(2) + P(3)= 0,0105 

• P(x>/= 3)=1-0,0105= 0.9895 (98,95%) 

DISTRIBUCIÓN DE POISSON:

• Poisson: médico militar francés que estudia en el s.XIX la probabilidad de que un soldado muera en el campo de batalla por golpes de un caballo. 

• También se llama la distribución de probabilidad DE CASOS RAROS. 

• Describiremos el uso de la distribución de Poisson para obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros (eventos que ocurren con poca frecuencia) cuyo resultado lo representa una variable discreta.

Permite calcular la PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UN SUCESO CON RESULTADO DISCRETO. 

El útil cuando el número de sucesos n es muy alto y la probabilidad de que ocurra lo que llamamos éxito es muy pequeña. n muy grande y p muy pequeña. Se busca la probabilidad de una variable aleatoria P(X), tomando como variable aleatoria el nº de ocurrencias del evento en un intervalo de conocido. Se necesita tener un intervalo definido en el que ocurren los sucesos. 

El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área, volumen, etc. X= nº de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido 

Requisitos para su cálculo :

• La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualquier intervalo de igual longitud, volumen, tiempo… 
• La ocurrencia o no del suceso es independiente. No condicionada por suceso anterior. 
• Dos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo

Distribución de Poisson. 

Ejemplo El número de suicidios en Lima sigue una distribución de Posisson. Además, se ha calculado que en promedio ocurren dos suicidios por semana

• Probabilidad de que la próxima semana ocurra 1 suicidio: P(x)= e-2 2x / x! à 2,71828183-2 . 21 / 1! = 0,27 à27% 
• Probabilidad de que la próxima semana ocurra 3 suicidios: P(x)= e-2 2x / x! à 2,71828183-2 . 23 / 3! = 0,180 à18% 

DISTRIBUCIONES NORMALES LA CAMPANA DE GAUSS:

• En estadística se llama distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales. 

• La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de los valores posición central (media, mediana y moda, que coinciden en estas distribuciones). 

• Es simétrica alrededor de la media. 

• La mayor parte de los valores se encuentran en torno a la media.

Valores en una normal: 

• Extrapolando aparecen los principios básicos de las distribuciones normales y podemos tipificar valores de una normal:

TIPIFICACIÓN DE LOS VALORES Y SU RELACIÓN CON LA CAMPANA DE GAUSS:

La tipificación de los valores se puede realizar sí … 

• Trabajamos con una variables continuas que: 

– Sigue una distribución normal 

– Y tiene más de 100 unidades 

• La tipificación nos permite conocer si otro valor corresponde o no a esa distribución de frecuencia.

EJERCICIO DE CLASE:

Sabemos la forma de la curva:

• La medida coincide lo más alto de la campana
• La desviación típica es de 2 puntos

-50% tiene puntuaciones mayores de 8

-50% tiene puntuaciones menores de 8

-Aproximadamente el 68% puntúa entre 6 y 10

media +/- 1 desviación típica: 68%

-8+/-1: 6-10

media +/-2 desviación típica: 95%

-4/12

TIPIFICACIÓN DE VALORES NORMAL (ESTUDIAR IMPORTANTE RO)

Extrapolando aparecen los principios básicos de las distribuciones normales y podemos tipificar valores de una normal:

- +/- 1S= 68,26% de las observaciones

- +/- 2S= 95,45% de las observaciones

- +/- 1,95S= 95% de las observaciones

- +/- 3S= 99,73% de las observaciones

- +/- 2,58S= 99% de las observaciones

¿Qué porcentaje de las destinatarias de la asistencia tienen puntuaciones de autoestima entre 5 y 8?

-Primero debemos dibujar la campana de Gauss y dibujar la franja de la campana que nos está pidiendo

-Nos está pidiendo porcentaje de mujeres entre 5 y 8

-Para ello hay que transformar las puntuaciones tipificadas (Z)

MEDIA X= 8

DESVIACIÓN TÍPICA Sx= 2

ZX= X- X / SX=  5-8/ 2=  -3/2 = 1,5 DE

1,5= 0,0668(tabla tipificación)  quiere decir que por debajo hay un 6,68%

0,5-0,0668= 0,4332

EL 43,3% DE LAS MUJERES SE SITÚA ENTRE 5 Y 8

¿QUÉ PUNTUACIÓN DE MUJERES TIENE PUNTUACIÓN IGUAL O MÁS DE 13 EN LA ESCALA DE AUTOESTIMA?
X=13

-13 está entre 12 y 14 que en la curva normal está situado entre +2DE y 3+DE

Zx= X- X / SX=  13-8/ 2=  5/2 = 2,5 DE

2,5 miro la tabla de tipificación y 2,5 corresponde al valor 0,0062 por encima hay un 0,62%
EL 0,62% DE LAS MUJERES SE SITÚA ENTRE 13 O MÁS

¿Qué porcentaje de mujeres proporción entre 4 y 10 en la escala?

DIBUJAR SIEMPRE CAMPANA DE GAUSS

-Al observar la campana de Gauss vemos la puntuación 4 corresponde a -2DE y 10 a 1DE

-Calcular área de la campana sitúa la media hasta 1DE y además existe entre la media y el que se sitúa em -2DE

z1= 4-8/2= -2 en la tabla de tipificación corresponde 0,0228 es 2,28%

z2= 10-8/2= 1 en la tabla de tipificación corresponde 0,1587 es 15,87%

0,5- 0,0228= 0,4772

0,5- 0,1587= 0,3413

se suman los dos:

0,4772+ 0,3413= 0,8185 es decir 81,85% de las mujeres se encuentran entre 4 y 10.

¿Probabilidad de que haya unas mujeres de 10,5 o menos? DIBUJO CAMPANA DE GAUSS

Z= 10,5-8/ 2= 1,25 en la tabla de tipificación corresponde a 0,1056 es 10,56% COLA

1-0, 1056= 0,8944 es 89,44% de mujeres de 10,5 o menos

Hay que consultar el valor de Z  en la tabla de valores tipificados, la tabla es la siguiente:

FIN DEL TEMA 7